为了提供特殊几何结构及其相关分析的第一个具体示例，我们想考虑曲率★★★。如果想说某个平均曲率概念（称为Ricci curvature，里奇曲率）是常数★，这相当于黎曼度量的二阶偏微分方程，这是允许我们在光滑物体上定义曲率的对象。可以做到这一点的几何体称为爱因斯坦流形，因为这个条件类似于爱因斯坦广义相对论中引力的真空场方程（我们规定的常数对应于物理学中的宇宙常数）★★★。爱因斯坦流形是数学和物理学中备受关注的迷人对象，但它们非常难找，而且非常神秘。该课程的一个特别令人感兴趣的是（宇宙）常数为零的爱因斯坦流形：这些是里奇平坦流形。
对校准几何研究的一个基本问题是奇点的存在性。正如肥皂膜中看到的那样，这些奇点自然发生，也不一定只是孤立的点★★。对这种几何现象的分析具有挑战性★，无论是在这个特定主题中还是在特殊几何结构中，这个问题是本学期课程研究的核心部分。
• 各种类型的特殊几何结构之间有什么关系？我们能利用这一点加深理解它们的几何和分析吗★★？
与特殊和乐理论紧密相关的是一种特殊类型的子流形理论★：研究存在于高维环境空间内的低维对象。子流形的一个例子是赤道，这是位于二维地球表面上的一条线。这种特殊的子流形理论称为校准几何，产生出众多子流形中其体积（或面积）极小的那一个子流形。关键的例子是肥皂膜★，它极小化其表面积★★★。同样，校准条件是一阶偏微分方程，这蕴含了二阶条件是体积的临界点（称为极小子流形）★★★。
该课程的一个关键方面是研究特殊和乐流形的几何和分析★，以及相关几何学。特别令人感兴趣的是这些空间的奇点：它们不光滑的地方。这种奇异的特殊和乐空间不仅具有数学意义★★，而且自然出现在弦理论和M理论的理论物理学背景下。
理解这一点的关键是分析（即使用微积分技术）在几何中发挥的核心作用★★。更具体地说★，使用偏微分方程（例如描述热量如何在房间内消散的方程，不出所料★，被称为热方程）来制定许多重要的几何问题已被证明价值无限。这些偏微分方程通常是二阶的：为更好地理解阶的概念★，举个例子★，加速度通常被视为物体运动的二阶量★★★，而速度是一阶量★★★。
在复几何领域之外寻找校准子流形非常困难。一般来说，没有明确的方法来解决这个问题★★。然而，对于卡拉比-丘流形中的特殊拉格朗日子流形★★，还有其他技术。这些包括一种称为拉格朗日平均曲率流的几何流★。和以前一样，奇点具有根本性的重要性，但现在，托马斯-丘Thomas-Yau和乔伊斯Joyce的启发性猜想提供了额外的见解★★，这些猜想表明了这些奇点与稳定性条件之间的关系★★★，包括Fukaya（深谷贤治）深谷范畴上所谓的Bridgeland稳定性条件。这产生了微分几何★★、几何分析和辛拓扑之间的迷人联系。
上面提到的Berger列表只告诉你特殊的和乐流形可以存在，而不是它们实际上会存在。它们的存在，特别是在紧的情况下★，是一系列突破的结果，包括丘成桐对卡拉比猜想的解决（这导致他获得了菲尔兹奖）和乔伊斯（Joyce）构造第一个紧的G₂和Spin(7)流形（通过修改众所周知的K3曲面的Kummer构造，而那种构造是卡拉比-丘和超凯勒流形最简单的非平凡例子）。
特殊和乐的另一个令人兴奋的方面★★，也是该课程的主要兴趣，是几何流的使用★★。几何流是上述热方程的非线性类似物★★★：它们是几何对象的演化方程，寻求找到最优代表作为其最终目标。这将有助于研究特殊和乐空间的存在问题和分类问题。然而，几何流并不总是以简单直接的方式工作★★：它们会遇到奇点。正如上文所述，这些奇点是流动物体不再光滑的地方。在奇点处，尚不清楚如何继续流动★★★。这些奇点，包括它们如何形成★★、它们是什么样子，以及继续经过或绕过它们的方法★，也构成了几何流研究的一个重要方面★。在本课程的这一部分★，令人感兴趣的几何流是凯勒-里奇流★，以及复几何中的其他相关流（例如，可以引出卡拉比-丘度量的流）和布莱恩特（Bryant）引入的G₂-拉普拉斯流，它寻求具有特殊和乐G₂的度量。
正是在这里，特殊的几何结构进入了故事。当拥有黎曼度量时，我们可以观察空间的切向量在绕环路（loop★，闭圈）进行平行传输时如何变换：这些变换形成一个群称为和乐群（holonomy group）★★★。1950年代★，Berger（贝尔热）对可能的非平凡和乐群进行了分类，在这个列表中，有几个特殊的和乐群导致里奇平坦度量：它们分为两个无限族（卡拉比-丘、超凯勒hyperkähler）以及两个分别称为G₂和Spin(7)的7维和8维的例外情况。根本之处在于，要找到一个具有特殊和乐群的流形，就等于求解一阶偏微分方程，这蕴含了二阶里奇平坦条件★★★。事实上，使用特殊和乐是我们知道的产生非平凡紧里奇平坦流形的唯一机制。
• 我们如何发现它们★★★？我们如何克服试图发现它们的已知方法中的分析（微积分）障碍？
大多数特殊几何问题都具有这样的性质：它们涉及一阶偏微分方程★★★，而这蕴含着更一般的二阶偏微分方程。这既令人惊讶又很强大，它解锁了新的工具和技术，产生了与其他数学领域（包括与本学期其他课程“曲率新前沿”的密切联系）以及理论物理学的联系，并提供了新颖的研究途径。正是这些特殊的几何结构和相关的分析构成了本学期“特殊几何结构和分析”课程的核心研究内容★。该课程正在探索的一些关键问题包括★★★：
几何学和特殊几何结构分析有许多关键方面，它们在该课程各个主题中反复出现★★★。这些主题以及各种特殊几何结构之间的联系将在SLMath的整个秋季学期进行研究。这无疑将为该领域的关键问题带来新的见解，并在未来实现该学科的突破。
几何处于数学的核心，可以追溯到数学的最初起源★★，并一直延续到当今的前沿研究★★。最近人们认识到★★，某些类型的几何比其他类型的几何更特殊。
• 它们的性质是什么？我们能理解这些结构的奇点（singularity，即非光滑部分）吗？
体积极小化意味着校准子流形提供了最优或典范代表的自然例子，这有望解决分类问题。此外，就像曲面上最短的曲线（即测地线geodesic）编码了该曲面上的几何的关键方面一样，人们希望研究校准子流形能够发现周围特殊和乐空间的微妙新信息，例如不变量★★★。大家还认为校准子流形有助于解释卡拉比-丘流形的镜像对称性这一神秘现象★★★，该现象首先出现在理论物理学中★★★，通过研究校准纤维化，其中纤维被称为特殊拉格朗日子流形。校准纤维化在其他特殊和乐流形中也发挥着关键作用★★★，例如G₂和Spin(7)流形★★，其中校准子流形在G₂情况下称为结合的（associative）和余结合的（coassociative），在Spin(7)情况下称为凯莱Cayley的。
我们最后讨论的特殊几何结构形成了特殊和乐背景下的另一类重要对象：所谓的瞬子（instanton）★★。瞬子是规范场论数学领域的一部分，它起源于物理学，特别是电磁学（包括麦克斯韦方程和磁单极子）和粒子物理学（如杨-米尔斯理论）。瞬子★，就像校准子流形一样，是杨-米尔斯能量的极小化。同样★★★，它们由一阶偏微分方程定义★★，这蕴含了二阶条件是杨-米尔斯连接（杨-米尔斯能量的临界点）★★★。
卡拉比-丘流形（Calabi-Yau manifold）的纤维化，提供了特殊几何结构的重要例子
受Donaldson唐纳森在光滑4-流形上瞬子的开创性工作的成功启发，他因此获得了菲尔兹奖，唐纳森-托马斯提出了更高维度的规范理论★★，人们希望能够使用瞬子来揭示有关特殊和乐空间的新信息，例如通过不变量的潜在构造。这似乎与我们上面关于校准子流形的讨论有关：这并非巧合★。事实上，瞬子和校准子流形之间的联系更进一步，它们之间产生了一种对偶形式★★，这是本学期课程的研究领域之一★★★。这种对偶性通过所谓的冒泡产生★，其中瞬子族沿着校准的子流形聚集，在冒泡过程结束时产生具有奇点的瞬子。这些奇点对我们进一步理解更高维度的规范理论构成了重大障碍，而且奇点不是孤立的，而是可以成族地出现，这一事实导致了复杂的分析和丰富的几何★★★。
